​从熵不变性看Attention的Scale操作

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 追一科技

研究方向 | NLP、神经网络

当前 Transformer 架构用的最多的注意力机制，全称为“Scaled Dot-Product Attention”，其中“Scaled”是因为在 转置相乘之后还要除以一个 在做 Softmax（下面均不失一般性地假设 ）：

在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》[1] 中，我们已经初步解释了除以 的缘由。而在这篇文章中，笔者将从“熵不变性”的角度来理解这个缩放操作，并且得到一个新的缩放因子。在 MLM 的实验显示，新的缩放因子具有更好的长度外推性能。

熵不变性

我们将一般的 Scaled Dot-Product Attention 改写成：

其中 是缩放因子，它跟 无关，但原则上可以跟长度 、维度 等参数有关，目前主流的就是 。

本文提出一个观点：

为了使得模型结果能够更好地泛化到未知长度，Attention 机制的设计应该使得 尽量具备熵不变性。

怎么理解这句话呢？首先，泛化到未知长度，指的是预测长度和训练不一致时也能有不错的效果，比如 训练然后外推到 测试。我们知道，使用 RoPE 之类的相对位置编码的模型，对长度具有比较好的外推性，但我们依然可以通过更好的设计来增强这种外推性，比如熵不变性就是其中之一。

具体来说， 可以视为 为条件、 为随机变量的条件分布，它的熵为：

熵不变性是指， 应该对长度 不敏感。更具体一点，就是如果在已有的 token 基础上，再补充几个 token，那么新算出来各个 自然也会有所改变，但我们希望 不要有太大改变。

为什么希望熵不变呢？我们知道，熵是不确定性的度量（参考《“熵”不起：从熵、最大熵原理到最大熵模型（一）》[2]），换个角度想，我们可以将不确定性视为注意力的“聚焦程度”：如果熵为 0，那么注意力将聚焦到某一个 token 上，如果熵为 ，那么注意力均匀分布到所有 token 上。我们希望熵不变，是希望引入新的 token 后，已有的 token 依旧能同样地聚焦到原来的 token 上，而不希望新 token 的引入过多地“分摊”了原有的注意力，导致求和结果显著发生变化。

新的因子

根据熵不变性以及一些合理的假设，我们可以得到一个新的缩放因子，从而得到一种 Scaled Dot-Product Attention：

这里的 是一个跟 都无关的超参数，详细推导过程我们下一节再介绍。为了称呼上的方便，这里将式（1）描述的常规 Scaled Dot-Product Attention 称为“Attention-O”（Original），而式（4）以及下面的式（5）描述的变体称为“Attention-E”（Entropy Invariance）。

可能有读者对引入了一个新参数感到不满意，其实这个不难解决。我们知道当前主流的预训练长度就是 512，所以我们假设主流的参数都是为 调试好的，所以当 的时候，上式应退化为普通的 Scaled Dot-Product Attention，即 ，推出 ，代入上式整理后得到：

这就去掉了超参数 ，下面的实验也是用这个版本。

为了验证该改动是否真如预期那样能提高 Transformer 的外推效果，笔者分别用 Attention-O 和 Attention-E 分别训练了一个 RoFormer small 版本，训练任务为 MLM，训练长度为 64，然后在不同长度的验证集下比较 MLM 的准确率，结果如下：

从实验结果可以看出，在与训练长度一致 的情况下，Attention-O 和 Attention-E 的效果是很接近的，但是外推到更大的测试长度时，则明显拉开了差距，比如 时 Attention-E 要比 Attention-O 高 10 个百分点以上的准确率，可真不是一星半点了。

推导过程

这一节我们介绍式（4）的推导过程。事实上，推导过程和假设都跟《最小熵原理（六）：词向量的维度应该怎么选择？》中的几乎是一样的。

首先，我们代入 的表达式，就可以得到：

要注意，我们仅仅是要做一个半定量的估计，以确定适合的 来抵消部分长度的影响，让熵完全不受长度影响是做不到的。所以，我们可以做一些假设，比如假设 是一个随机变量，那么可以写出：

将所有求和都用同样的近似代替，我们得到：

留意到一般情况下 都是 Layer Norm 出来之后再接一个 Dense 层，而 Dense 层接近正交变换，所以我们近似地假设 都是模长为 的向量，所以 ；然后进一步假设 均匀地分布在半径为 的球面上，那么对 的期望可以转化为对 夹角的期望，即：

其中 服从的分布就是球面上任意两个向量之间的夹角分布，我们在《n维空间下两个随机向量的夹角分布》讨论过。接下来可以像《最小熵原理（六）：词向量的维度应该怎么选择？》的“近似估计”一样，用拉普拉斯近似得到：

因此，为了抵消长度 的影响，我们让 ，从而得出 。当然，我们知道这只是估计，所以没必要保留系数 0.24 了，倒不如直接引入超参数 ，使得：

这就是对应式（4）了。

相关结果

在阅读 ACL 2022 的投稿论文时，发现上面有一篇《Overcoming a Theoretical Limitation of Self-Attention》[3]，给出了相近的结果（论文4.3节的公式1）：

不过，该论文并没有太深刻的理论分析，只是构建了两个特殊的 case 来测试 Attention 的性能，测试发现往缩放因子乘上 有助于泛化长度，所以就提出来了。

然而可以看出，如果按照默认约定 用自然对数的话，那么上式很明显是不合理的，因为当 较大时，缩放因子过大，会导致严重的梯度消失。只不过该论文只是在机器翻译上做实验，测得都是 级别的序列，所以就没有显示出梯度消失问题。

文章总结

本文从熵不变性的角度重新推导了 Scaled Dot-Product Attention 中的 Scale 操作，得到了一个新的缩放因子。初步的试验结果显示，新的缩放因子不改变已有的训练性能，并且对长度外推具有更好的结果。

参考文献

[1] https://kexue.fm/archives/8620

[2] https://kexue.fm/archives/3534

[3] https://openreview.net/forum?id=qc9O2EtrMI-

特别鸣谢

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